Для начала поймем, что, так как крюк может выстреливать только перпендикулярно движению лодки, то существует всего $$$1$$$ точка на прямой, проведенной через точки $$$A$$$ и $$$B$$$. Это значит, что мы можем вычислить отрезок на прямой, на котором крюк будет заблокирован, если мы зацепим шлюпку в начальной точке. Для того чтобы вычислить точку, в которой нужно зацепить шлюпку, нужно провести перпендикуляр к прямой $$$AB$$$, основание перпендикуляра и будет нужной точкой. Чтобы вычислить точку, где крюк освободится, необходимо из начальной точки провести вектор в направлении движения спасательной лодки с длиной, равной длине перпендикуляра. Будем называть для шлюпки начальную точку этого отрезка — точкой захвата, а конечную точку — точкой спасения.

Рассмотрим $$$1$$$ подгруппу, в ней есть ограничение на координату $$$y$$$ у точек $$$A$$$ и $$$B$$$, она у них равна $$$0$$$. Б. о. о. пусть спасательная лодка плывет слева направо (иначе можно просто отзеркалить координаты относительно прямой $$$x = 0$$$). Тогда, если $$$i$$$-я шлюпка находится в точке $$$(x_i, y_i)$$$, то точка захвата у нее имеет координаты $$$(x_i, 0)$$$, а точка спасения — $$$(x_i + y_i, 0)$$$, т.к. расстояние между точкой захвата и шлюпкой было ровно $$$y_i$$$. Мы можем отбросить все шлюпки, у которых $$$x$$$-координата точки захвата меньше $$$a_x$$$ или больше $$$b_x$$$, потому что одни мы не сможем захватить крюком, а другие не успеем притянуть к себе — игра закончится. Теперь отсортируем все шлюпки по $$$x$$$-координате точки захвата, чтобы воспользоваться динамическим программированием. Посчитаем для каждой шлюпки $$$i$$$ величину $$$dp_i$$$ — максимальное число шлюпок среди тех, у которых номер в отсортированном порядке меньше $$$i$$$, и при этом спасти $$$i$$$-ю шлюпку. Теперь просто одним циклом будем перебирать номер лодки в отсортированном порядке, пусть сейчас это $$$i$$$, а теперь переберем все $$$j \lt i$$$, для $$$j$$$-й лодки проверим, что ее $$$x$$$-координата точки спасения не больше $$$x$$$-координаты точки захвата нашей $$$i$$$-й лодки, иначе мы не сможем спасти ее. Вычислим $$$dp_i = \max_{j \lt i}(dp_j) + 1$$$ среди подходящих $$$j$$$. Это работает, потому что для $$$dp_i$$$ среди спасенных лодок с номерами $$$j \lt i$$$ есть лодка с максимальным номером $$$j_{max}$$$, и для нее, если убрать спасенную $$$i$$$-ю лодку, $$$dp_{j_{max}} = dp_i - 1$$$ по определению $$$dp_i$$$. Тогда, так как ответ тоже содержит в себе некоторую лодку $$$i_{max}$$$ с наибольшим номером, то ответ — это $$$dp_{i_{max}}$$$, т.е. его можно вычислить как $$$\max_{i}(dp_i)$$$.

Перейдем ко $$$2$$$ подгруппе, теперь отсортировать лодки так удобно не выйдет, однако это можно сделать, используя теперь в качестве параметра сортировки расстояние между точкой $$$A$$$ и точкой захвата у шлюпки. Это можно вычислить, используя формулы построения перпендикуляра к прямой и вычисления расстояний между точками, однако авторское решение использует векторные и скалярные произведения для подсчета этого расстояния. Пусть шлюпка находится в точке $$$P$$$, тогда расстояние от $$$A$$$ до точки захвата можно вычислить как $$$|AP| \cdot \cos \alpha$$$, где $$$\alpha$$$ — это угол между $$$AP$$$ и $$$AB$$$. Это можно выразить через скалярное произведение векторов как $$$|AP| \cdot \cos \alpha = \frac{AB \cdot AP}{|AB|}$$$. Длина перпендикуляра рассчитывается подобным образом, но через векторное произведение: $$$|AP| \cdot \sin \alpha = \frac{|AB \times AP|}{|AB|}$$$, важно не забыть взять модуль от векторного произведения: в первом случае модуль не использовался, чтобы шлюпки вне доступности спасательной лодки имели отрицательное расстояние от точки $$$A$$$ для удобства. Теперь, используя эти две величины, мы можем посчитать расстояние от точки $$$A$$$ до точки спасения шлюпки как их сумму. Заметим, что у расстояний общий знаменатель — длина отрезка $$$AB$$$. Давайте тогда просто домножим все величины на это число, от этого порядок лодок и их сортировка не изменятся, но зато мы сможем перейти к вычислениям в целых числах. Теперь, имея две величины для каждой шлюпки — расстояние от точки $$$A$$$ до точки захвата и точки спасения, а также используя идею с динамическим программированием из $$$1$$$ подгруппы, можем сдать эту.

Перейдем к $$$3$$$ подгруппе, и теперь подумаем, как улучшить подсчет величины $$$dp_i$$$. Для этого воспользуемся $$$scanline$$$-идеей, у нас будет $$$2$$$ типа событий: "мы прибыли в точку захвата некоторой шлюпки" и "мы прибыли в точку спасения некоторой шлюпки". Мы отсортируем все события по расстоянию от точки $$$A$$$ до них, теперь будем идти по ним и хранить ответ — максимальное число лодок, которое мы можем спасти, если мы прошли первые $$$i$$$ событий, обозначим его $$$score$$$. Если мы встречаем событие $$$1$$$-го типа для $$$j$$$-й шлюпки, то мы вычисляем $$$dp_j = score + 1$$$ по определению. Если мы встречаем событие $$$2$$$-го типа для $$$j$$$-й шлюпки, это значит, что, если бы мы эту шлюпку спасали, то крюк бы освободился, а значит, мы можем теперь использовать $$$dp_j$$$ для обновления $$$score$$$: $$$score = \max(score, dp_j)$$$. Важно, что, если несколько событий находятся в одной точке, то сначала нужно обработать события $$$2$$$-го типа, а потом уже первого типа. После обработки всех событий $$$score$$$ и будет нашим ответом.

Подгруппы $$$4$$$ и $$$5$$$ используют объединенные идеи подгрупп $$$2$$$ и $$$3$$$.